[ Pobierz całość w formacie PDF ]
o o
x2 -x1
�� 0 0 cos � - sin � ��
l
cos � = , (41)
l
0 0 sin � cos � o o
y2 -y1
�� �� �� �� sin � = .
l
1 0 -1 0 cos � sin � 0 0
�� �� �� ��
0 0 0 0 - sin � cos � 0 0
�� �� �� ��
Aby wynaczyć macierz bezwładności w globalnym układzie
� �� �� � �� �� =
�� -1 0 1 0 �� �� 0 0 cos � sin � ��
odniesienia, należy wyznaczyć jej postać przy przemieszczeniach
0 0 0 0 0 0 - sin � cos �
węzłów zarówno w poziomie jak i w pionie, co prowadzi do
�� ��
następującej postaci funkcji kształtu
cos2 � sin � cos � - cos2 � - sin � cos �
�� ��
AE sin � cos � sin2 � - sin � cos � - sin2 �
�� ��
= �� ��
1 - � 0 � 0
��
l - cos2 � - sin � cos � cos2 � sin � cos � ��
[N] =
0 1 - � 0 �
- sin � cos � - sin2 � sin � cos � sin2 �
(40)
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Pprzemieszczenia wzdłuż elementu zapisane są jako
�� ��
u1
��
u 1 - � 0 � 0 v1 ��
�� ��
= �� ��
Macierz bezwładności w układzie globalnym. Po wymnożeniu
v 0 1 - � 0 � �� u2 ��
otrzyma się
v2 �� ��
2 0 1 0
�� ��
Zatem macierz bezwładności przedstawia się następująco �Al 0 2 0 1
�� ��
[m] = �� ��
�� 1 0 2 0 ��
6
1 1
1 - � 0
0 1 0 2
0 1 - � 1 - � 0 � 0
[m] = NT �NAld� = �Al d� =
� 0 0 1 - � 0 �
0 �
Porównanie wyrażeń na macierz bezwładności w układzie lokalnym
0 0
1
oraz globalnym pozwala na stwierdzenie, iż dla elementu prętowego
- 1)2 0 -�(� - 1) 0
(�
0 (� - 1)2 0 -�(� - 1)
= �Al d� = nie ulega ona zmianie przy przejściu z lokalnego do globalnego
-�(� - 1) 0 �2 0
0 -�(� - 1) 0 �2
układu współrzędnych.
�� ��
1
(�-1)3 �2(2�-3)
0 - 0
3 6
2 0 1 0
(�-1)3 �2(2�-3)
�� 0 0 - �� �Al
0 2 0 1
3 6
= �Al =
�� ��
�2(2�-3) �3 1 0 2 0
6
- 0 0
6 3
0 1 0 2
�2(2�-3) �3
0 - 0
6 3 0
(42)
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Przykład statyczny płaski Wyznaczenie globalnych macierzy sztywności elementów
�� ��
11.2 5.58 -11.2 -5.58 0 0 0 0
��
5.58 2.79 -5.58 -2.79 0 0 0 0��
�� ��
�� ��
��-11.2 -5.58 11.2 5.58 0 0 0 0��
�� ��
��
-5.58 -2.79 5.58 2.79 0 0 0 0��
o
�� ��
[k1-2] = 106 �
��
0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
��
0 0 0 0 0 0 0 0��
Element Współrzędne Długość Wartość E [Pa] A[m2] �� ��
�� ��
węzła 1 węzła 2 elementu cos � sin �
�� 0 0 0 0 0 0 0 0��
1-2 (0, 0) (1, 0.5) 1.118 0.894 0.447 2 � 1011 8 � 10-6
1-3 (0, 0) (1, 0) 1.0 1.0 0.0 2 � 1011 8 � 10-6
0 0 0 0 0 0 0 0
2-3 (1, 0.5) (1, 0) 0.5 0.0 -1.0 2 � 1011 8 � 10-6
2-4 (1, 0.5) (2, 0) 1.118 0.894 -0.447 2 � 1011 8 � 10-6
3-4 (1, 0) (2, 0) 1.0 1.0 0.0 2 � 1011 8 � 10-6
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
�� ��
�� ��
1.56 0 0 0 -1.56 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
��
0 0 0 0 0 0 0 0�� �� ��
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0
�� ��
�� ��
�� ��
�� 0 0 0 0 0 0 0 0��
��0 0 11.2 -5.58 0 0 -11.2 5.58 ��
�� ��
�� ��
��
0 0 0 0 0 0 0 0��
o ��
�� ��
0 0 -5.58 2.79 0 0 5.58 -2.79��
[k1-3] = 107 � o
�� ��
��
[k2-4] = 106 �
-1.56 0 0 0 1.56 0 0 0��
�� ��
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0
�� ��
��
0 0 0 0 0 0 0 0�� �� ��
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0
�� ��
�� ��
�� ��
�� 0 0 0 0 0 0 0 0��
��0 0 -11.2 5.58 0 0 11.2 -5.58��
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 5.58 -2.79 0 0 -5.58 2.79
�� ��
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
��
0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
��
�� �� 0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
��0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
�� ��
��0 0 0 0 0 0 0 0��
��
0 0 0 3.12 0 -3.12 0 0�� �� ��
o
�� ��
��
[k2-3] = 107 �
0 0 0 0 0 0 0 0��
�� o
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0��
[k3-4] = 107 �
�� ��
��
0 0 0 0 1.56 0 -1.56 0��
��
�� ��
0 0 0
�� -3.12 0 3.12 0 0��
��
��
�� ��
0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
��0 0 0 0 0 0 0 0��
�� ��
��0 0 0 0 -1.56 0 1.56 0��
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Agregacja macierzy sztywności Obciążenia
Są podane w globalnym układzie odniesienia. Wystarczy wpisać je
Macierze sztywności w globalnym układzie odniesienia dla
w odpowiednie miejsce macierzy obciążeń, która przyjmuje postać
poszczególnych elementów należy zsumować. W ten sposób można
�� ��
uzyskać globalną macierz sztywności
�� 0 ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
o o o o o
�� ��
[Ko] = [k1-2] + [k1-3] + [k2-3] + [k2-4] + [k3-4] �� ��
�� ��
�� 0 ��
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
-104
26.8 5.58 -11.2 -5.58 -15.6 0 0 0
{Pio} =
5.58 2.79 -5.58 -2.79 0 0 0 0
�� ��
��-11.2 -5.58 22.3 0 0 0 -11.2 5.58 ��
�� ��
�� ��
��-5.58 -2.79 0 36.8 0 -31.2 5.58 -2.79
��
o �� ��
[K ] = 106 � �� ��
��-15.6 0 0 0 31.2 0 -15.6 0 �� 0
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
0 0 0 -31.2 0 31.2 0 0
�� ��
�� ��
0 0 -11.2 5.58 -15.6 0 26.8 -5.58 �� ��
�� ��
ó� ��
0 0 5.58 -2.79 0 0 -5.58 2.79
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Nałożenie warunków brzegowych Rozwiązanie układu równań
Macierzowo zapisane jest to tak jak poniżej. Jako wynik otrzymuje
się wektor przemieszczeń węzłowych
Na głównej przekątnej przy przecięciu wiersza i kolumny dla
danego stopnia swobody pozostawia się wartość 1, zeruje się
o
{ui } = [Ko]-1{Pio}
wektor obciążeń dla odpowiednich stopni swobody. Po modyfikacji
o
macierz [K ] przyjmuje postać,
Przemieszczenia poszczególnych węzłów są przedstawione poniżej
�� ��
10-6 0 0 0 0 0 0 0
�� ��
�� ��
0 10-6 0 0 0 0 0 0
�� 0.00 �� x1
�� �� �� ��
�� ��
�� �� �� ��
0 0 22.3 0 0 0 -11.2 0
�� ��
0.00 y1
�� �� �� ��
�� ��
�� �� �� ��
0 0 0 36.8 0 -31.2 5.58 0
�� ��
�� �� 6.41 �� x2
[Ko] = 106���
�� ��
�� �� �� ��
0 0 0 0 31.2 0 -15.6 0
�� ��
�� ��
-30.74 y2
o
�� ��
0 0 0 -31.2 0 31.2 0 0
{ui } = 10-4
�� ��
�� ��
6.41 x3
�� �� �� ��
0 0 -11.2 5.58 -15.6 0 26.8 0
�� ��
�� ��
�� ��
�� -30.74 y3
��
0 0 0 0 0 0 0 10-6
�� ��
�� ��
�� ��
�� ��
12.82 x4
�� ��
�� ��
ó� ��
0.00 y4
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Zazwyczaj łatwiej jest ocenić rozwiązanie, gdy dokona się
wizualizacji, co pozwala na odrzucenie zdecydowanie błędnych
rozwiązań
Po wyznaczeniu przemieszczeń węzłów można przystąpić do
wyznaczania naprężeń w poszczególnych elementach. Dla każdego
elementu należy wyznaczyć odkształcenia, z których na podstawie
prawa Hooke a można wyznaczyć naprężenia.
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
[ Pobierz całość w formacie PDF ]