[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Co sądzą na ten temat zawodowi matematycy? Powiada się niekiedy, że matematycy są
platonikami w godzinach pracy, a formalistami w czasie wolnym. Zajmując się bezpośrednio
matematyką trudno oprzeć się wrażeniu, że odkrywa się coś realnie istniejącego, tak jak w
naukach przyrodniczych. Obiekty matematyczne żyją własnym życiem, często wykazując
zupełnie nieoczekiwane własności. Z drugiej strony, koncepcja transcendentnej dziedziny, w
której miałyby bytować obiekty matematyczne, wielu matematykom wydaje się nazbyt
mistyczna, aby się do niej przyznawać, i jeśli się ich o to zapyta, zwykli twierdzić, że uprawianie
matematyki polega wyłącznie na żonglerce symbolami i formułami.
Niemniej jednak istnieli prominentni matematycy przyznajÄ…cy siÄ™ otwarcie do
platonizmu. Należał do nich Kurt Godeł. Jak można było tego oczekiwać, Godeł oparł swą
filozofię matematyki na wynikach swych badań nad rozstrzygalnością twierdzeń, rozumując, że
zawsze będą istnieć twierdzenia matematyczne, które są prawdziwe, lecz nie mogą być
udowodnione na podstawie istniejących aksjomatów. Wyobrażał sobie zatem, iż owe prawdziwe
twierdzenia bytują gdzieś tam poza naszą Jaskinią , w dziedzinie platońskich idei. Innym
znanym platonikiem jest matematyk z Oxfordu, Roger Penrose. Prawda matematyczna
przekracza ramy czystego formalizmu - pisze on. Często odnosimy wrażenie, że pod pojęciami
matematycznymi kryje się jakaś głębsza rzeczywistość, wykraczająca daleko poza deliberacje
jakiegokolwiek konkretnego matematyka. Wygląda to, jak gdyby myśl człowieka kierowana była
ku jakiejś zewnętrznej wobec niej, odwiecznie istniejącej prawdzie - prawdzie, która stanowi
niezależną od nas rzeczywistość i ukazuje się nam jedynie w niewielkiej części . Przytaczając
jako przykład liczby zespolone, Penrose uważa, że mają one głęboką, pozaczasową realność .
Innym przykładem, który skłonił Penrose'a do przyjęcia platonizmu, jest coś, co nazwano
zbiorem Mandelbrota , na cześć Benoita Mandelbrota, naukowca z firmy komputerowej IBM.
Zbiór ten, którego postać geometryczna zwie się fraktalem , związany jest blisko z teorią
chaosu i dostarcza kolejnego wspaniałego przykładu, że w wyniku prostej procedury
rekurencyjnej otrzymujemy obiekt o niewiarygodnym bogactwie formy i złożoności.
Generowany jest on poprzez wielokrotne stosowanie reguÅ‚y (czy też odwzorowania) z -» z2 + c,
gdzie z jest zmienną zespoloną, a c jest pewną stałą o wartości zespolonej. Regułę tę należy
rozumieć następująco: wez pewną liczbę zespoloną z i zastąp ją przez z2 + c, następnie podstaw
jÄ… za z i wykonaj tÄ™ samÄ… operacjÄ™, i tak dalej, i tak dalej. Otrzymywane kolejno liczby zespolone
można przedstawić na płaszczyznie, na przykład na kartce papieru lub ekranie komputerowym,
przy czym każda liczba stanowi jeden punkt. Można stwierdzić, że dla jednych wartości c punkt
ten szybko wędruje poza ekran, podczas gdy dla innych wartości porusza się przez cały czas
wewnątrz pewnego ograniczonego obszaru. Z kolei dane c jako liczba zespolona również
odpowiada pewnemu punktowi na płaszczyznie i właśnie zbiór wszystkich takich punktów c
stanowi zbiór Mandelbrota. Zbiór ten ma tak niezwykle skomplikowaną strukturę, że nie sposób
wprost opisać w słowach jego zadziwiającego piękna. Niejednokrotnie fragmenty tego zbioru
były wystawiane jako dzieła sztuki na wystawach. Charakterystyczną cechą zbioru Mandelbrota
jest to, że każda jego część może być powiększana bez końca i każdy kolejny poziom
rozdzielczości ujawnia nowe bogactwo jego struktury.
Penrose zauważa, że Mandelbrot przystępując do badania własności tego zbioru zupełnie
nie wyobrażał sobie z góry zawartej w nim wyrafinowanej struktury:
Struktura zbioru Mandelbrota nie może być przez nikogo z nas poznana w pełni swej
złożoności; nie może też jej zrealizować żaden komputer. Wydaje się, jak gdyby nie była ona
częścią naszego umysłu, lecz istniała niezależnie od nas. (...) Komputer wykorzystywany jest w
tym przypadku zasadniczo w ten sam sposób, jak fizyk-eksperymentator wykorzystuje swą
aparaturę doświadczalną do zgłębiania budowy świata fizycznego. Zbiór Mandelbrota nie został
wymyślony, lecz odkryty. Tak jak Mount Everest, zbiór Mandelbrota po prostu jest!
Martin Gardner, matematyk i znany popularyzator nauki, zgadza siÄ™ z tÄ… opiniÄ…: Penrose
nie rozumie (ja również), jak ktoś mógłby przypuścić, że ta egzotyczna struktura jest mniej realna
od Mount Everestu; może być ona penetrowana przez badaczy na podobieństwo dżungli .
Czy matematykę tworzymy, czy odkrywamy? - pyta Penrose. Czyżby matematycy byli
na tyle zafascynowani swoimi wynalazkami, iż mniemają, że istnieją one naprawdę? Czy też
odkrywają oni prawdy, które istniały już wcześniej, prawdy, których istnienie w żadnym stopniu
nie zależy od tego, czy są one poznawane przez matematyków? Opowiadając się wyraznie za
tym drugim poglądem, Penrose wskazuje, że w przypadkach takich, jak zbiór Mandelbrota,
struktura zawiera o wiele więcej, niż się do niej pierwotnie włożyło. Można powiedzieć, że w
tych przypadkach matematycy natykajÄ… siÄ™ na »dzieÅ‚o Boga« . W samej rzeczy dostrzega on
analogię pomiędzy matematyką a natchnionymi dziełami sztuki: Wśród artystów dość często
[ Pobierz całość w formacie PDF ]