[ Pobierz całość w formacie PDF ]
okre laj cym pocz tek układu (0,0,0,0). Poniewa układy U i U wybrali my tak, by ich
pocz tki si pokrywały, odpowiedni przedział w układzie U dany jest wyra eniem
s 2=c2t 2-x 2-y 2-z 2
danie równo ci s i s powinno da nam reguły transformacyjne. Pozornie nie jest to proste,
ale ułatwimy sobie spraw , je eli zamiast czasu wprowadzimy now zmienn :
� = ict
wówczas w układzie U
- s2 = �2 + x2 + y2 + z2
i ono ma by równe
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
- s = � + x + y + z
Zauwa my, e -s2 oznacza kwadrat długo ci wektora wodz cego w przestrzeni
czterowymiarowej (�,x,y,z). Wiemy, e długo ci wektorów wodz cych punktów nie
zmieniaj si przy obrotach układu odniesienia, zatem przej cia pomi dzy układami
inercjalnymi s obrotami w czterowymiarowej przestrzeni (�,x,y,z).
Chcemy opisa transformacj pomi dzy wybranymi przez nas układami U i U . Poniewa
zało yli my, e oba układy poruszaj si wzgl dem siebie w kierunku x (x ). Zatem
współrz dne y i z nie ulegaj zmianie:
y =y
z =z
Oznacza to obrót w płaszczy nie (�,x), co znacznie ułatwia dalsze rozwa ania.
Je eli dokonujemy obrotu o k t �,
mo emy wynik transformacji napisa w
postaci:
2
� = x sin � + �cos�
2
x = x cos� - �sin �
2 2 2 2
Aatwo sprawdzi , e �2 + x2 = � + x
Naturalnie k t obrotu zale e mo e
wył cznie od pr dko ci wzgl dnej układu
�2
V. eby go wyznaczy znajd my
�
poło enie pocz tku układu U w układzie
U .
x
Poło enie pocz tku układu U ma w nim
�
współrz dn
x=0
Zwi zki transformacyjne daj jego
�
poło enie w układzie U :
x
37
2
� = �cos�
2
x = -�sin �
� na razie jest dowolne (warunki powinny by spełnione dla dowolnej chwili), ale mo emy je
wyeliminowa dziel c równania stronami
2
x �sin �
= - = - tg �
2
� �cos�
Poniewa pocz tek układu U porusza si w układzie U z pr dko ci -V czyli mo emy
napisa zwi zek
x =-Vt
lub
2
x
= -V
2
t
lub
2 2
x x V
= = i
2 2
� ict c
Porównuj c oba zwi zki otrzymujemy
V
tg � = -i
c
Mo emy teraz znale sinus i cosinus k ta �
V
- i
tg �
c
sin � = =
1+ tg2 � V2
1-
c2
1 1
cos� = =
1+ tg2 � V2
(1- )
c2
Po wstawieniu uzyskujemy nast puj ce zwi zki:
V V
- i � - i x
1
c c
2
� = x + � =
V2 V2 V2
1- 1- 1-
c2 c2 c2
V V
i x + i �
1
c c
2
x = x + � =
V2 V2 V2
1- 1- 1-
c2 c2 c2
a po podstawieniu � = ict :
V
t - x
c2
2
t =
V2
1-
c2
x - Vt
2
x =
V2
1-
c2
38
y =y
z =z
Zauwa my, e w przypadku granicznym V>>c wzory te przechodz we wzory transformacji
Galileusza mechaniki klasycznej. Stanowi to naturalnie warunek ich poprawno ci.
Dla skrócenia zapisu stosuje si zwykle umowne podstawienia:
V
� =
c
1
� =
1- �2
wtedy transformacja ma posta
x
2
t = �(t - � )
c
2
x = �(x - �ct)
Transformacja ta pozwala znale zwi zki pomi dzy współrz dnymi i czasem w dowolnych
inercjalnych układach odniesienia. Mo emy natychmiast zauwa y , e niemo liwa jest
transformacja do układów poruszaj cych si z pr dko ci wi ksz od pr dko ci wiatła
� >1 �! urojone�
gdy wielko ci fizyczne okre laj ce poło enie i czas musz by rzeczywiste.
Uwaga! W przedstawionym rachunku zast pili my t przez � = ict w celu uzyskania pełnej
analogii z obrotem w przestrzeni trójwymiarowej. Mo na tego nie robi , zachowa zmienn
czasow . Wtedy we wzorach transformacji obrotu w płaszczy nie (x,t) nale y zast pi
funkcje trygonometryczne hiperbolicznymi.
Transformacja odwrotna.
Aatwo mo na sprawdzi , e transformacja odwrotna odpowiada obrotowi o k t - � i dana
jest zwi zkami:
V
2 2
t + x
c2
t =
V2
1-
c2
2 2
x + Vt
x =
V2
1-
c2
2
y = y
2
z = z
Mo na j tak e uzyska rozwikłuj c transformacj prost wzgl dem zmiennych
primowanych .
Konsekwencj transformacji Lorentza s niespotykane w przypadku klasycznym efekty.
Przyjrzyjmy si najciekawszym.
39
Kontrakcja długo ci i dylatacja czasu.
Załó my, e w układzie U spoczywa pr t o długo ci l. W wybranej chwili t jednakowej (w
układzie U) dla obu zdarze dokonujemy pomiaru poło e jego ko ców x1 i x2. Jego długo
b d ca wynikiem tych pomiarów wynosi l=x2-x1.
x 2
t
x2
x 1
l
t
x2
W układzie U , poruszaj cym si wzgl dem U z pr dko ci V dokonujemy podobnego
pomiaru wyznaczaj c poło enia x 1 i x 2 w chwili t jednakowej dla obu zdarze w układzie
U . Zmierzona długo jest równa l =x 2-x 1. Zauwa my jednak, e to co było jednoczesne w
układzie U nie było jednoczesne w układzie U. Oba zdarzenia 1 i 2 (scharakteryzowane
przez poło enie i czas) nie mogły by to same w obu układach odniesienia.
Skoncentrujmy si na pomiarze długo ci pr ta w układzie U . Zdarzeniom 1 i 2 odpowiada
ten sam czas t1 =t2 =t . Oczywi cie je eli t 1=t 2 to t1 `" t2, bo
2
x1
��
2
t1 = ��� t1 + �
�� ��
c
�� ��
2
x2
��
2
t2 = ��� t2 + �
�� ��
c
�� ��
a x 1 nie jest równe x 2 (zakładamy niezerow długo pr ta). Zbadajmy skutki tego faktu.
Poło enia ko ców pr ta w układzie U wyra amy przez współrz dne zdarzenia w układzie U:
2
x2 = �(x2 - �ct2)
2
x1 = �(x1 - �ct1)
Długo pr ta w układzie U
2 2 2
l = x2 - x1 = �(x2 - x1 - �c(t2 - t1))
Poniewa chwile t2 i t1 nie s w układzie U to same, wyra amy je ponownie przez parametry
zdarze w układzie U :
2 2
�� x2 x1 ��
����
2
l = ��� x2 - x1 - �c��� t22 + � - t12 - �
�� ����
��
c c
�� ��
�� ��
Teraz korzystamy z jednoczesno ci pomiarów w układzie U i uzyskujemy :
2 2
l = �l - �2�2l
Przekształcamy to równanie wydobywaj c z niego l :
2
(1+ �2�2)l = �l
�� ��
�2
��
��1+ 1- �2 �� = �l
��l2
�� ��
1
2
l = �l
1- �2
2
�2l = �l
40
1 V2
2
l = l = 1- l
� c2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]