[ Pobierz całość w formacie PDF ]
o o
x2 -x1
ðø 0 0 cos ¸ - sin ¸ ûø
l
cos ¸ = , (41)
l
0 0 sin ¸ cos ¸ o o
y2 -y1
îø ùø îø ùø sin ¸ = .
l
1 0 -1 0 cos ¸ sin ¸ 0 0
ïø úø ïø úø
0 0 0 0 - sin ¸ cos ¸ 0 0
ïø úø ïø úø
Aby wynaczyć macierz bezwładności w globalnym układzie
· ïø úø · ïø úø =
ðø -1 0 1 0 ûø ðø 0 0 cos ¸ sin ¸ ûø
odniesienia, należy wyznaczyć jej postać przy przemieszczeniach
0 0 0 0 0 0 - sin ¸ cos ¸
węzłów zarówno w poziomie jak i w pionie, co prowadzi do
îø ùø
następującej postaci funkcji kształtu
cos2 ¸ sin ¸ cos ¸ - cos2 ¸ - sin ¸ cos ¸
ïø úø
AE sin ¸ cos ¸ sin2 ¸ - sin ¸ cos ¸ - sin2 ¸
ïø úø
= ïø úø
1 - ¾ 0 ¾ 0
ðø
l - cos2 ¸ - sin ¸ cos ¸ cos2 ¸ sin ¸ cos ¸ ûø
[N] =
0 1 - ¾ 0 ¾
- sin ¸ cos ¸ - sin2 ¸ sin ¸ cos ¸ sin2 ¸
(40)
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Pprzemieszczenia wzdłuż elementu zapisane są jako
îø ùø
u1
ïø
u 1 - ¾ 0 ¾ 0 v1 úø
ïø úø
= ïø úø
Macierz bezwładności w układzie globalnym. Po wymnożeniu
v 0 1 - ¾ 0 ¾ ðø u2 ûø
otrzyma siÄ™
v2 îø ùø
2 0 1 0
ïø úø
Zatem macierz bezwÅ‚adnoÅ›ci przedstawia siÄ™ nastÄ™pujÄ…co ÁAl 0 2 0 1
ïø úø
[m] = ïø úø
ðø 1 0 2 0 ûø
6
1 1
1 - ¾ 0
0 1 0 2
0 1 - ¾ 1 - ¾ 0 ¾ 0
[m] = NT ÁNAld¾ = ÁAl d¾ =
¾ 0 0 1 - ¾ 0 ¾
0 ¾
Porównanie wyrażeń na macierz bezwładności w układzie lokalnym
0 0
1
oraz globalnym pozwala na stwierdzenie, iż dla elementu prętowego
- 1)2 0 -¾(¾ - 1) 0
(¾
0 (¾ - 1)2 0 -¾(¾ - 1)
= ÁAl d¾ = nie ulega ona zmianie przy przejÅ›ciu z lokalnego do globalnego
-¾(¾ - 1) 0 ¾2 0
0 -¾(¾ - 1) 0 ¾2
układu współrzędnych.
îø ùø
1
(¾-1)3 ¾2(2¾-3)
0 - 0
3 6
2 0 1 0
(¾-1)3 ¾2(2¾-3)
ïø 0 0 - úø ÁAl
0 2 0 1
3 6
= ÁAl =
ðø ûø
¾2(2¾-3) ¾3 1 0 2 0
6
- 0 0
6 3
0 1 0 2
¾2(2¾-3) ¾3
0 - 0
6 3 0
(42)
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Przykład statyczny płaski Wyznaczenie globalnych macierzy sztywności elementów
îø ùø
11.2 5.58 -11.2 -5.58 0 0 0 0
ïø
5.58 2.79 -5.58 -2.79 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø úø
ïø-11.2 -5.58 11.2 5.58 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø
-5.58 -2.79 5.58 2.79 0 0 0 0úø
o
ïø úø
[k1-2] = 106 ·
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
Element WspółrzÄ™dne DÅ‚ugość Wartość E [Pa] A[m2] ïø úø
ïø úø
wÄ™zÅ‚a 1 wÄ™zÅ‚a 2 elementu cos ¸ sin ¸
ðø 0 0 0 0 0 0 0 0ûø
1-2 (0, 0) (1, 0.5) 1.118 0.894 0.447 2 · 1011 8 · 10-6
1-3 (0, 0) (1, 0) 1.0 1.0 0.0 2 · 1011 8 · 10-6
0 0 0 0 0 0 0 0
2-3 (1, 0.5) (1, 0) 0.5 0.0 -1.0 2 · 1011 8 · 10-6
2-4 (1, 0.5) (2, 0) 1.118 0.894 -0.447 2 · 1011 8 · 10-6
3-4 (1, 0) (2, 0) 1.0 1.0 0.0 2 · 1011 8 · 10-6
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
îø ùø
îø ùø
1.56 0 0 0 -1.56 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø ïø úø
ïø úø
0 0 0 0 0 0 0 0
ïø úø
ïø úø
ïø úø
ïø 0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø0 0 11.2 -5.58 0 0 -11.2 5.58 úø
ïø úø
ïø úø
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
o ïø
ïø úø
0 0 -5.58 2.79 0 0 5.58 -2.79úø
[k1-3] = 107 · o
ïø úø
ïø
[k2-4] = 106 ·
-1.56 0 0 0 1.56 0 0 0úø
ïø úø
ïø úø
0 0 0 0 0 0 0 0
ïø úø
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø ïø úø
ïø úø
0 0 0 0 0 0 0 0
ïø úø
ïø úø
ïø úø
ðø 0 0 0 0 0 0 0 0ûø
ðø0 0 -11.2 5.58 0 0 11.2 -5.58ûø
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 5.58 -2.79 0 0 -5.58 2.79
îø ùø
îø ùø
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
ïø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø
ïø úø 0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø úø
ïø úø
ïø0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø
0 0 0 3.12 0 -3.12 0 0úø ïø úø
o
ïø úø
ïø
[k2-3] = 107 ·
0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø o
ïø úø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
[k3-4] = 107 ·
ïø úø
ïø
0 0 0 0 1.56 0 -1.56 0úø
ïø
ïø úø
0 0 0
ïø -3.12 0 3.12 0 0úø
úø
ïø
ïø úø
0 0 0 0 0 0 0 0úø
ïø úø
ðø0 0 0 0 0 0 0 0ûø
ïø úø
ðø0 0 0 0 -1.56 0 1.56 0ûø
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Agregacja macierzy sztywności Obciążenia
Są podane w globalnym układzie odniesienia. Wystarczy wpisać je
Macierze sztywności w globalnym układzie odniesienia dla
w odpowiednie miejsce macierzy obciążeń, która przyjmuje postać
poszczególnych elementów należy zsumować. W ten sposób można
ñø üø
uzyskać globalną macierz sztywności
ôø 0 ôø
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
o o o o o
ôø ôø
[Ko] = [k1-2] + [k1-3] + [k2-3] + [k2-4] + [k3-4] ôø ôø
ôø ôø
ôø 0 ôø
ôø ôø
ôø ôø
òø ýø
îø ùø
-104
26.8 5.58 -11.2 -5.58 -15.6 0 0 0
{Pio} =
5.58 2.79 -5.58 -2.79 0 0 0 0
ôø ôø
ïø-11.2 -5.58 22.3 0 0 0 -11.2 5.58 úø
ôø ôø
ôø ôø
ïø-5.58 -2.79 0 36.8 0 -31.2 5.58 -2.79
úø
o ôø ôø
[K ] = 106 · ôø ôø
ïø-15.6 0 0 0 31.2 0 -15.6 0 úø 0
ôø ôø
ôø ôø
ðø ûø
ôø ôø
0 0 0 -31.2 0 31.2 0 0
ôø ôø
ôø ôø
0 0 -11.2 5.58 -15.6 0 26.8 -5.58 ôø ôø
ôø ôø
óø þø
0 0 5.58 -2.79 0 0 -5.58 2.79
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Nałożenie warunków brzegowych Rozwiązanie układu równań
Macierzowo zapisane jest to tak jak poniżej. Jako wynik otrzymuje
się wektor przemieszczeń węzłowych
Na głównej przekątnej przy przecięciu wiersza i kolumny dla
danego stopnia swobody pozostawia się wartość 1, zeruje się
o
{ui } = [Ko]-1{Pio}
wektor obciążeń dla odpowiednich stopni swobody. Po modyfikacji
o
macierz [K ] przyjmuje postać,
Przemieszczenia poszczególnych węzłów są przedstawione poniżej
îø ùø
10-6 0 0 0 0 0 0 0
ñø üø
ïø úø
0 10-6 0 0 0 0 0 0
ôø 0.00 ôø x1
ïø úø ôø ôø
ôø ôø
ïø úø ôø ôø
0 0 22.3 0 0 0 -11.2 0
ôø ôø
0.00 y1
ïø úø ôø ôø
ôø ôø
ïø úø ôø ôø
0 0 0 36.8 0 -31.2 5.58 0
ôø ôø
úø ôø 6.41 ôø x2
[Ko] = 106·ïø
ôø ôø
ïø úø ôø ôø
0 0 0 0 31.2 0 -15.6 0
òø ýø
ïø úø
-30.74 y2
o
ïø úø
0 0 0 -31.2 0 31.2 0 0
{ui } = 10-4
ïø úø
ôø ôø
6.41 x3
ðø ûø ôø ôø
0 0 -11.2 5.58 -15.6 0 26.8 0
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
ôø -30.74 y3
ôø
0 0 0 0 0 0 0 10-6
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
ôø ôø
12.82 x4
ôø ôø
ôø ôø
óø þø
0.00 y4
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011 Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
Zazwyczaj łatwiej jest ocenić rozwiązanie, gdy dokona się
wizualizacji, co pozwala na odrzucenie zdecydowanie błędnych
rozwiązań
Po wyznaczeniu przemieszczeń węzłów można przystąpić do
wyznaczania naprężeń w poszczególnych elementach. Dla każdego
elementu należy wyznaczyć odkształcenia, z których na podstawie
prawa Hooke a można wyznaczyć naprężenia.
Ireneusz Czajka Fakultet Numeryczne Modelowanie 2011
[ Pobierz całość w formacie PDF ]